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2챕터의 마지막 정리인, 볼차노-바이어슈트라스 정리를 진행하기 이전에, 극한점 대하여 포스팅하겠다. 정의. 점 $x(\in \mathbb{R})$와 $\mathbb{R}$의 부분집합 $A$를 생각하자. $x$를 포함하는 모든 열린집합이 $x$가 아닌 $A$의 점을 포함하면 점 $x$를 $A$의 극한점(limit point) 또는 집적점(accumulation point) 이라고 한다. 실직선이 아니어도 정의가능하지만, 우선 실직선에서 이게 정의되는 순간, 실수의 완비성 공리에 의해 특별한 정리가 하나 추가된다. 정리 2.9 $\mathbb{R}$의 부분집합 $A$에 대하여 실수 $x$가 $A$의 극한점일 필요충분조건은 $d(x, A\backslash\{x\}) = 0$이다. 증명$x$가 $A$의 극한점이..

네이버 블로그에서 쓰긴 했었는데, 2.13 볼차노-바이어슈트라스 정리를 쓰기 전 한번 더 정리한다. 이 내용과 2.4 축소구간 정리를 동시에 알아야 이해 및 증명이 가능하다.  실수 $\mathbb{R}$ 위의 실직선(real line) 위에 놓인 점 사이의 거리는 $a, b$ 사이의 거리로 정의된 절댓값 함수 $|a-b|$로 구할 수 있다. 거리는 실해석학에서 충분히 다루며, 아래와 같은 중요 3가지 성질이 있다. 실수 $a,b,c$에 대하여 다음이 성립한다.(a) $|a-b|\geq 0$이면서 동시에 $|a-b| = 0$는 $a=b$인 때에만 성립한다.(b) $|a-b| = |b-a|$ (reflexivity)(c) $|a-c| \leq |a-b| + |b-c|$ (삼각부등식) 위상수학은 점과 집합 ..

축소구간정리에 이은 정리 두 개가 소개된다. 그것은 2.12 하이네-보렐 정리와 2.13 볼차노-바이어슈트라스 정리. 그중 첫번째인 하이네-보렐 정리이다. 실직선상의 폐구간 $[a,b]$는 compact set임을 나타내는건데.. 실수버전으로 완화한 설명이다. 정리 2.12 하이네-보렐 정리$[a,b]$를 유계 닫힌구간이라 하고, 어떤 열린 구간의 모임 $\cal{O}$ 가 존재하여 그 집합이 $[a,b]$를 포함한다고 하자. 그러면 $\cal{O}$의 어떤 유한 부분집합 $\{O_1, O_2, \cdots, O_N\}$은 그 합집합이 $[a,b]$를 포함한다. 증명 편의성을 위해 두 가지 용어를 정한다.A. 구간 $[c,\frac{c+d}{2}], [\frac{c+d}{2}, d]$ 를 각각 구간 $[..

닫힌 구간이 점점 축소하면, 반드시 한 점을 공통적으로 포함한다는 정리.정의 1. 양의 정수 n과 집합 Sn 에 대하여 Sn+1⊂Sn 일 때, 집합의 수열 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$은 축소된다 (nested) 고 한다. 정리 2.11 칸토어 축소구간 정리 (Cantor's nested intervals theorem)$\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ 이 유계인 닫힌구간으로 이어진 축소수열이면 $\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]$은 공집합이 아니다. 덧붙여 구간의 지름 (구간 내 모든 원소들간의 거리의 최소상계)이 0으로 수렴하면 $\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]$은 정확하게 원소가 1개이다. 이 정리의 증명은 실해석학..

선형대수는 정말 다양한 분야에서 사용되고 있다. 공학, 물리학, 통계학, 경영학 등등 거의 모든곳에 쓰인다 해도 무방하다. 특히 딥러닝, AI의 흥행으로 근간이 되는 학문으로 더욱 중요성이 부각되고 있다. 하지만 공학박사이면서 수학과 1학년 전공과목 정도를 공부한 입장에서, 현존하는 선형대수 수학 강의들에 조금 불만이 있다. 바로 너무 수학도 관점에서만 설명하는 경우가 많다는거다. 요즘에야 책이 잘 나와서 공학적인 과점으로도 설명해주지만, 여전히 학교 교과서로 쓰이는 책은 다 수학적 의미만 다룰때가 많다. 특히 수학적인 부분과 공학적인 부분을 둘 다 깊이 공부한 입장에서 이런 현실은 더욱 절실히 느껴졌다. 나는 원래 수학과를 가고싶어 해서 학부시절 수학과목은 전부 A+를 받고, 추가로 실해석학을 독학했다..

서문 선형대수학. 영어로는 Linear algebra 라고 한다. 선형(Linear) 의 특성을 지니는 대수(algebra) 를 다루는 학문이라 볼 수 있다. 보통 수학과에서도 배우지만, 공학에서 널리 사용되어 공대에서도 미적분과 함게 필수 기초 수학으로 배운다. 하지만 고등학교때 잠깐 언급되며 기초적인것을 배우는 미적분학과 달리, 선형대수학은 관련 내용을 배운 기억이 없이 뜬금없이 튀어나온 인상을 주기 쉽다. 하지만 그 기초적인 개념은 역시 중, 고등학교 수학과정에서 잠시언급되긴 했다. 그 내용을 보면 크게 연립 선형 방정식의 해를 구하는 내용과 벡터의 특성에 대한 내용 두 가지로 구성되어 있다. 연립 선형 방정식이랑 여러개의 변수로 구성된 연립 방정식에 이차항 이상이 존재하지 않는 경우를 의미한다. ..

openGL에 대하여 공부하다보면, Projection matrix가 전이(translation) 을 행렬의 곱으로 표현하기 위해서 4 by 4 행렬을 사용한다고 하고 있다. 그리고 이 때 3차원 벡터와 점을 구분하는 용도로 끝에 1을 붙이는 동차좌표계(homogeneous coordinate)를 사용한다고 배운다. 이에 관련하여 많은 분들이 정리를 잘 해주셨다. 그중 몇개 링크를 공유하도록 한다. darkpgmr.tistory.com/78 blog.daum.net/shksjy/229 하지만 나는 공부를 하면서 한 가지 의문이 생겼다. 동차좌표계가 사영기하학의 분야면, 왜 선형대수처럼 행렬의 개념으로 쓰이는가? 전통 사영기하학은 벡터가 없는데 왜 여기선 벡터가 있는가? 또한 선형대수는 벡터와 스칼라만 있..