극한점의 정의 및 특성

2챕터의 마지막 정리인, 볼차노-바이어슈트라스 정리를 진행하기 이전에, 극한점 대하여 포스팅하겠다.

 

정의. 점 $x(\in \mathbb{R})$와 $\mathbb{R}$의 부분집합 $A$를 생각하자. $x$를 포함하는 모든 열린집합이 $x$가 아닌 $A$의 점을 포함하면 점 $x$를 $A$의 극한점(limit point) 또는 집적점(accumulation point) 이라고 한다.

 

실직선이 아니어도 정의가능하지만, 우선 실직선에서 이게 정의되는 순간, 실수의 완비성 공리에 의해 특별한 정리가 하나 추가된다.

 

정리 2.9 $\mathbb{R}$의 부분집합 $A$에 대하여 실수 $x$가 $A$의 극한점일 필요충분조건은 $d(x, A\backslash\{x\}) = 0$이다.

 

증명

$x$가 $A$의 극한점이고 $\epsilon$이 양수라고 가정한다. 그러면 열린집합 $(x-\epsilon,k x+\epsilon)$은 $x$가 아닌 $A$의 한 점 $y$를 포함한다. $y \in (x-\epsilon,x+\epsilon)$ 이므로 $d(x,y) < \epsilon$이고, 따라서 $d(x, A \backslash \{x\}) < \epsilon$이다. 부등식 $ d(x, A \backslash \{x\}) < \epsilon$는 모든 $\epsilon > 0$에 대해 성립하므로, 입십론-델타 논법에 의해 $d(x, A \backslash \{x\}) = 0$ 이다.

 

이번에는 $d(x, A \backslash \{x\}) = 0$ 이라고 가정하고 $x$를 포함하는 열린집합 $O$를 생각한다. $O$는 어떤 양수 $\delta$에 대해 열린구간 $(x-\delta, x+\delta)$를 포함한다(없으면 $x$만 포함하게 되는데, 그건 닫힌집합이라 모순이다.).

$ d(x, A \backslash \{x\}) < \delta$ 이고 구간 $(x-\delta, x+\delta)$가 정확히 $x$로부터 거리가 $\delta$ 이내인 모든 점을 포함하므로, $(x-\delta, x+\delta)$는 반드시 $A \backslash \{x\}$의 한 점 $z$를 포함한다. 따라서

$$z \in (x-\delta, x+\delta) \subset O$$

가 성립한다. 또한, $z \in A\backslash \{x\}$이므로 $z\neq x$이다. 결국 $x$를 포함하는 모든 열린 집합은 $x$가 아닌 $A$의 한 점을 포함하므로 $x$는 $A$의 극한점이다.

 

예시

(a) $0$은 $\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}$의 유일한 극한점이다.

(b) $a<b$일 때 $(a,b)$와 $[a,b]$ 둘 다 극한점으로 이루어진 집합은 $[a,b]$이다.  $(a,b)$기준으론 $a,b$가 빠져서 동일하지 않고, $[a,b]$기준으론 완벽하게 동일한 집합이 된다.

 

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극한점이다. 기억이 맞다면, 모든 극한점을 다 포함하는 집합을 닫힌집합이라 부르는거로 아는데, 여기선 실직선에서 열린집합부터 정의했던거로 기억한다. 열린구간이란 정의가 존재해서 그런거 같고, 실제로는 열린집합 닫힌집합을 일반적인 집합 $X$와 metric $d:X\times X\rightarrow R$  대하여 정의 가능했던거로 안다..(PMA는 그랬던거 같다.)

 

뭐 뒤에서 나오겠지.

 

볼차노-바이어슈트라스까지 마무리하면 거리공간, 그리고 위상공간으로 간다.