2.11 칸토어의 축소구간 정리

 

닫힌 구간이 점점 축소하면, 반드시 한 점을 공통적으로 포함한다는 정리.

정의 1. 양의 정수 n과 집합 Sn 에 대하여 Sn+1⊂Sn 일 때, 집합의 수열

$\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$은 축소된다 (nested) 고 한다.

 

정리 2.11 칸토어 축소구간 정리 (Cantor's nested intervals theorem)

$\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ 이 유계인 닫힌구간으로 이어진 축소수열이면 $\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]$은 공집합이 아니다. 덧붙여 구간의 지름 (구간 내 모든 원소들간의 거리의 최소상계)이 0으로 수렴하면 $\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]$은 정확하게 원소가 1개이다.

 

이 정리의 증명은 실해석학의 중요 법칙중 하나인, 하계가 존재하는 집합은 최대하계가, 상계가 존재하는 집합은 최소상계가 존재한다는 법칙을 이용하면 된다.

 

증명 $\text{(혼자 생각)}$: 먼저 축소구간들의 시작수 $a_n$ 들의 집합 $A=\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 가 있다 하자.  그리고 축소구간들의 끝수 $b_n$ 들의 집합 $B=\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ 가 있다 하자. 

Lemma 1. $A$의 모든 원소는 임의의 $B$의 원소 $b_n$ 보다 작거나 같은게 보장이 된다. 즉, $A$는 상계가 존재하고, $B$의 모든 원소가 상계가 된다.

 

Lemma1 증명: 만약 $a_m > b_n$ 인 $a_m$이 있으면 $b_n< a_m<=b_m$ 인데 이러면 $m<n$이어야 한다. 하지만 이 경우 $a_m \leq a_n$이기에 $b_n<a_m \leq a_n \leq b_n $ 이 되어 $b_n<b_n$이란 모순이 나온다. 즉 이런 $m$은 존재할 수 없다. 따라서 모든 $n$에 대하여 $a_n$은 임의의 $b_n$보다 작다. 즉 임의의 $b_n$은 $A$의 상계가 된다.

 

Lemma2. $B$의 모든 원소는 임의의 $A$의 원소 $a_n$ 보다 크거나 같은게 보장이 된다. 즉, $B$는 하계가 존재하고 모든 $A$의 원소가 하계가 된다.

 

Lemma2 증명: Lemma1과 동일하게 모순을 통해 증명 가능하다. 

 

Lemma1, 2와 실수의 완비성 공리에 의해 $A$의 최소상계가 존재하고, $B$의 최대하계가 존재한다. 이를 각각 $\sup A, \inf B$ 라고 하자. 이 때 모든 $n$에 대하여 $\sup A \leq b_n$이다. $\sup A > b_n$이 성립하면 $b_n$이 $A$의 상계라 $\sup A$가 최소상계라는 가정에 모순이다. 또한 $\inf B \geq a_n$이다. $\inf B < a_n$이 성립하면 $a_n$의 $B$의 하계라 $\inf B$가 최대하계라는 가정에 모순이다. 즉 $\sup A$는 $B$의 하계, $\inf B$는 $A$의 상계란 의미고, 따라서 최소상계와 최대하계의 정의에 의해 $\sup A \leq \inf B$ 가 성립한다.

또한 지름이 0에 수렴할 경우, $[\sup A, \inf B]$라는 집합은 모든 $S_n$의 부분집합이기 때문에, 똑같이 지름이 0이 되어야 한다. 즉 $\sup A = \inf B$가 성립한다.

 

교과서 안보고 혼자 만든거라 좀 다를꺼 같긴 한데, 논리적 흐름은 비슷할꺼 같다.

역시 증명은 스스로 해야 재밌는법. 상계 하계의 원칙만 잘 안다면 증명 가능하다. 

수학은 재밌다.

여기까진 그냥 칸토어의 축소구간 정리인데, 뒤쪽에 이 정리와 동등한 다른 두 정리를 소개한다.